오차·P 제어와 PID

이 일차 모델의 목표 0.6에서 kp=1의 8초 응답을 계산합니다.

y=0.0
for _ in range(160):
    u=1.0*(0.6-y)
    y+=0.05*(u-y)/0.5
print(f"speed={y:.6f} error={0.6-y:.6f}")

동일 목표 변경과 8초 구간에서 이득·주기 조합을 비교합니다. error는 최종 목표 0과 속도의 차이입니다.

def simulate(kp,ki,kd,dt,steps,target=0.6,limit=1.0,imax=0.5,protect=True):
    # First-order speed plant: dy/dt = (u-y)/tau, tau=0.5 s.
    y=integral=previous=0.0
    rows=[]
    for k in range(steps):
        r=target if k*dt<2.0 else 0.0
        e=r-y
        integral+=e*dt
        if protect: integral=max(-imax,min(imax,integral))
        d=0.0 if k==0 else -(y-previous)/dt
        raw=kp*e+ki*integral+kd*d
        u=max(-limit,min(limit,raw))
        previous=y
        y+=dt*(u-y)/0.5
        rows.append((round((k+1)*dt,10),r-y,u,integral,abs(raw)>limit))
    return rows

def metrics(rows,tolerance=0.05):
    errors=[r[1] for r in rows]
    signs=[1 if e>1e-9 else -1 if e< -1e-9 else 0 for e in errors]
    nonzero=[s for s in signs if s]
    flips=sum(a!=b for a,b in zip(nonzero,nonzero[1:]))
    settled=None
    for i,r in enumerate(rows):
        if r[0]>=2.0 and all(abs(e)<=tolerance for e in errors[i:]):
            settled=r[0];break
    return dict(error=errors[-1],flips=flips,settled=settled,saturated=sum(r[4] for r in rows),peak_i=max(abs(r[3]) for r in rows))

for kp in (1.0,4.0):
    for dt in (0.05,0.20):
        m=metrics(simulate(kp,1.0,0.02,dt,round(8/dt)))
        print(f"kp={kp:.1f} dt={dt:.2f} error={m['error']:.6f} flips={m['flips']} settled={m['settled']} saturation={m['saturated']}")

처음 2초 목표 3은 출력 한계 1로 도달 불가능합니다. 목표 해제 뒤까지 내부 적분과 잔여 오차를 비교합니다.

def simulate(kp,ki,kd,dt,steps,target=0.6,limit=1.0,imax=0.5,protect=True):
    # First-order speed plant: dy/dt = (u-y)/tau, tau=0.5 s.
    y=integral=previous=0.0
    rows=[]
    for k in range(steps):
        r=target if k*dt<2.0 else 0.0
        e=r-y
        integral+=e*dt
        if protect: integral=max(-imax,min(imax,integral))
        d=0.0 if k==0 else -(y-previous)/dt
        raw=kp*e+ki*integral+kd*d
        u=max(-limit,min(limit,raw))
        previous=y
        y+=dt*(u-y)/0.5
        rows.append((round((k+1)*dt,10),r-y,u,integral,abs(raw)>limit))
    return rows

def metrics(rows,tolerance=0.05):
    errors=[r[1] for r in rows]
    signs=[1 if e>1e-9 else -1 if e< -1e-9 else 0 for e in errors]
    nonzero=[s for s in signs if s]
    flips=sum(a!=b for a,b in zip(nonzero,nonzero[1:]))
    settled=None
    for i,r in enumerate(rows):
        if r[0]>=2.0 and all(abs(e)<=tolerance for e in errors[i:]):
            settled=r[0];break
    return dict(error=errors[-1],flips=flips,settled=settled,saturated=sum(r[4] for r in rows),peak_i=max(abs(r[3]) for r in rows))

for protect in (False,True):
    m=metrics(simulate(2,3,0.02,0.05,160,target=3,protect=protect))
    print(f"protect={protect} peak_i={m['peak_i']:.6f} saturation={m['saturated']} error={m['error']:.6f}")

한 행 kp ki kd dt n target limit imax protect를 받습니다. 유한 실수들은 절댓값 100 이내입니다. 이득은 0 이상, dt는 0 초과 0.5 이하, n은 정수 0~10000, limit는 양수, imax는 0 이상, protect는 정수 0 또는 1입니다. 각 행은 y=integral=previous=0으로 시작합니다. response를 완성합니다. 목표는 n회 내내 일정하며 첫 D는 0입니다. 적분 갱신→선택적 적분 제한→측정 미분→출력 제한→플랜트 갱신 순서를 지킵니다. tau=0.5초입니다. 마지막 y·integral을 여섯 자리, raw의 절댓값이 limit보다 큰 표본 수를 정수로 출력합니다. 오류는 ERROR, 빈 파일은 출력 없음입니다.